გადაწყვიტეთ x^2+16x+41=0

$$x ^ { 2 } + 16 x + 41 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{23}-8\approx -3.204168477$$

$$x=-\left(\sqrt{23}+8\right)\approx -12.795831523$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+16x+41=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 16-ით b და 41-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 41}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 41}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 41.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-164}}{2}$$

მიუმატეთ 256 -164-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{92}}{2}$$

აიღეთ 92-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 2\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{23}-16}{2}$$

გაყავით -16+2\sqrt{23} 2-ზე.

$$x=\sqrt{23}-8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{23} -16-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}-16}{2}$$

გაყავით -16-2\sqrt{23} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{23}-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{23}-8 x=-\sqrt{23}-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x+41=0$$

გამოაკელით 41 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+16x+41-41=-41$$

41-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+16x=-41$$

გაყავით 16, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 8-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 8-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+16x+8^{2}=-41+8^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x^{2}+16x+64=-41+64$$

მიუმატეთ -41 64-ს.

$$x^{2}+16x+64=23$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+16x+64. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=23$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{23}$$

გაამარტივეთ.

$$x+8=\sqrt{23} x+8=-\sqrt{23}$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{23}-8 x=-\sqrt{23}-8$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{23}-8\approx -3.204168477$$

$$x=-\sqrt{23}-8\approx -12.795831523$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+16x+41=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 16-ით b და 41-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 41}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 41}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 41.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-164}}{2}$$

მიუმატეთ 256 -164-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{92}}{2}$$

აიღეთ 92-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 2\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{23}-16}{2}$$

გაყავით -16+2\sqrt{23} 2-ზე.

$$x=\sqrt{23}-8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±2\sqrt{23}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{23} -16-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}-16}{2}$$

გაყავით -16-2\sqrt{23} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{23}-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{23}-8 x=-\sqrt{23}-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x+41=0$$

გამოაკელით 41 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+16x+41-41=-41$$

41-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+16x=-41$$

გაყავით 16, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 8-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 8-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+16x+8^{2}=-41+8^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x^{2}+16x+64=-41+64$$

მიუმატეთ -41 64-ს.

$$x^{2}+16x+64=23$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+16x+64. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=23$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{23}$$

გაამარტივეთ.

$$x+8=\sqrt{23} x+8=-\sqrt{23}$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{23}-8 x=-\sqrt{23}-8$$