გადაწყვიტეთ x^2+14x-12=0

$$x ^ { 2 } + 14 x - 12 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{61}-7\approx 0.810249676$$

$$x=-\left(\sqrt{61}+7\right)\approx -14.810249676$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+14x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 14-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-12\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -12.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+48}}{2}$$

მიუმატეთ 196 48-ს.

$$x=\frac{-14±\sqrt{244}}{2}$$

აიღეთ 244-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -14 2\sqrt{61}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-14}{2}$$

გაყავით -14+2\sqrt{61} 2-ზე.

$$x=\sqrt{61}-7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{61} -14-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-14}{2}$$

გაყავით -14-2\sqrt{61} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{61}-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+14x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 0-ს.

$$x^{2}+14x=12$$

გაყავით 14, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 7-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 7-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+14x+7^{2}=12+7^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x^{2}+14x+49=12+49$$

მიუმატეთ 12 49-ს.

$$x^{2}+14x+49=61$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+14x+49. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=61$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{61}$$

გაამარტივეთ.

$$x+7=\sqrt{61} x+7=-\sqrt{61}$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{61}-7\approx 0.810249676$$

$$x=-\sqrt{61}-7\approx -14.810249676$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+14x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 14-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-12\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-12\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -12.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+48}}{2}$$

მიუმატეთ 196 48-ს.

$$x=\frac{-14±\sqrt{244}}{2}$$

აიღეთ 244-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -14 2\sqrt{61}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{61}-14}{2}$$

გაყავით -14+2\sqrt{61} 2-ზე.

$$x=\sqrt{61}-7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-14±2\sqrt{61}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{61} -14-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{61}-14}{2}$$

გაყავით -14-2\sqrt{61} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{61}-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+14x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 0-ს.

$$x^{2}+14x=12$$

გაყავით 14, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 7-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 7-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+14x+7^{2}=12+7^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x^{2}+14x+49=12+49$$

მიუმატეთ 12 49-ს.

$$x^{2}+14x+49=61$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+14x+49. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=61$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{61}$$

გაამარტივეთ.

$$x+7=\sqrt{61} x+7=-\sqrt{61}$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{61}-7 x=-\sqrt{61}-7$$