გადაწყვიტეთ x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-5$$

$$x=5$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით x^{2}+11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

x^{2}+11-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

გამოაკელით 11 42-ს 31-ის მისაღებად.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x^{2}+11} ხარისხი და მიიღეთ x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(31-x^{2}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

რიცხვის ხარისხის სხვა ხარისხში ასაყვანად, გადაამრავლეთ ექსპონენტები. გადაამრავლეთ 2 და 2 რომ მიიღოთ 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

გამოაკელით 961 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

გამოაკელით 961 11-ს -950-ის მისაღებად.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

დაამატეთ 62x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

დააჯგუფეთ x^{2} და 62x^{2}, რათა მიიღოთ 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

გამოაკელით x^{4} ორივე მხარეს.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

ჩაანაცვლეთ t-ით x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ -1 a-თვის, 63 b-თვის და -950 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

ამოხსენით განტოლება t=\frac{-63±13}{-2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$t=25 t=38$$

რადგან x=t^{2}, ამონახსნები მიიღება x=±\sqrt{t}-ის შეფასებით ყოველი t-თვის.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

ჩაანაცვლეთ 5-ით x განტოლებაში, x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=5 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$42=42$$

ჩაანაცვლეთ -5-ით x განტოლებაში, x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-5 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$42=42$$

ჩაანაცვლეთ \sqrt{38}-ით x განტოლებაში, x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\sqrt{38} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$56=42$$

ჩაანაცვლეთ -\sqrt{38}-ით x განტოლებაში, x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-\sqrt{38} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$56=42$$

ჩამოთვალეთ \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}-ის ამოხსნები.

$$x=5 x=-5$$