გადაწყვიტეთ x^2+10x+14=0

$$x ^ { 2 } + 10 x + 14 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1.68337521$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+5\right)\approx -8.31662479$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+10x+14=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 10-ით b და 14-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

მიუმატეთ 100 -56-ს.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

აიღეთ 44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 2\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

გაყავით -10+2\sqrt{11} 2-ზე.

$$x=\sqrt{11}-5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{11} -10-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

გაყავით -10-2\sqrt{11} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+14=0$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

14-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

გაყავით 10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

მიუმატეთ -14 25-ს.

$$x^{2}+10x+25=11$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

გაამარტივეთ.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{11}-5\approx -1.68337521$$

$$x=-\sqrt{11}-5\approx -8.31662479$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+10x+14=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 10-ით b და 14-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 14}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 14}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-56}}{2}$$

მიუმატეთ 100 -56-ს.

$$x=\frac{-10±\sqrt{44}}{2}$$

აიღეთ 44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 2\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-10}{2}$$

გაყავით -10+2\sqrt{11} 2-ზე.

$$x=\sqrt{11}-5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{11}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{11} -10-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-10}{2}$$

გაყავით -10-2\sqrt{11} 2-ზე.

$$x=-\sqrt{11}-5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+14=0$$

გამოაკელით 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x^{2}+10x+14-14=-14$$

14-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$x^{2}+10x=-14$$

გაყავით 10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-14+5^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x^{2}+10x+25=-14+25$$

მიუმატეთ -14 25-ს.

$$x^{2}+10x+25=11$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=11$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

გაამარტივეთ.

$$x+5=\sqrt{11} x+5=-\sqrt{11}$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{11}-5 x=-\sqrt{11}-5$$