გადაწყვიტეთ x=sqrt{x}*1/x

$$x = \sqrt { x } \times \frac { 1 } { x }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$x^{2}=\left(\sqrt{x}\times \frac{1}{x}\right)^{2}$$

გამოხატეთ \sqrt{x}\times \frac{1}{x} ერთიანი წილადის სახით.

$$x^{2}=\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)^{2}$$

ჯერადით \frac{\sqrt{x}}{x}-ის გაზრდისთვის, გაზარდეთ ორივე, მრიცხველი და მნიშვნელი, ჯერადით და შემდეგ გაყავით.

$$x^{2}=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{x^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x} ხარისხი და მიიღეთ x.

$$x^{2}=\frac{x}{x^{2}}$$

გააბათილეთ x როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$x^{2}=\frac{1}{x}$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x-ზე.

$$xx^{2}=1$$

იმავე ფუძის ჯერადი რიცხვების გასამრავლებლად, შეკრიბეთ მათი ექსპონენტები. შეკრიბეთ 1 და 2 რომ მიიღოთ 3.

$$x^{3}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-1 x-1-ზე x^{2}+x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 1 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}+x+1=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x განტოლებაში, x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$1=\sqrt{1}\times \frac{1}{1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}-ით x განტოლებაში, x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}=\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}\times \frac{1}{\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-ით x განტოლებაში, x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}\times \frac{1}{\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

ჩამოთვალეთ x=\frac{1}{x}\sqrt{x}-ის ამოხსნები.

$$x=1 x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

ამონახსნის ეტაპები

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$x^{2}=\left(\sqrt{x}\times \frac{1}{x}\right)^{2}$$

გამოხატეთ \sqrt{x}\times \frac{1}{x} ერთიანი წილადის სახით.

$$x^{2}=\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)^{2}$$

ჯერადით \frac{\sqrt{x}}{x}-ის გაზრდისთვის, გაზარდეთ ორივე, მრიცხველი და მნიშვნელი, ჯერადით და შემდეგ გაყავით.

$$x^{2}=\frac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{x^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x} ხარისხი და მიიღეთ x.

$$x^{2}=\frac{x}{x^{2}}$$

გააბათილეთ x როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში.

$$x^{2}=\frac{1}{x}$$

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x-ზე.

$$xx^{2}=1$$

იმავე ფუძის ჯერადი რიცხვების გასამრავლებლად, შეკრიბეთ მათი ექსპონენტები. შეკრიბეთ 1 და 2 რომ მიიღოთ 3.

$$x^{3}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-1=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-1 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-1 x-1-ზე x^{2}+x+1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 1 b-თვის და 1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1$$

ჩაანაცვლეთ 1-ით x განტოლებაში, x=\sqrt{x}\times \frac{1}{x}.

$$1=\sqrt{1}\times \frac{1}{1}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=1 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$1=1$$

განტოლებას x=\frac{1}{x}\sqrt{x} აქვს უნიკალური გადაწყვეტილება.

$$x=1$$