გადაწყვიტეთ x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$9x-2y=12$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$x+2y=12$$

გამოაკელით 2y განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-2y+12$$

ჩაანაცვლეთ -2y+12-ით x მეორე განტოლებაში, 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

გაამრავლეთ 9-ზე -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

მიუმატეთ -18y -2y-ს.

$$-20y+108=12$$

გამოაკელით 108 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-20y=-96$$

ორივე მხარე გაყავით -20-ზე.

$$y=\frac{24}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{24}{5}-ით y აქ: x=-2y+12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

მიუმატეთ 12 -\frac{48}{5}-ს.

$$x=\frac{12}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$9x-2y=12$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$9x-2y=12$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

იმისათვის, რომ x და 9x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 9-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

გაამარტივეთ.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

გამოაკელით 9x-2y=12 9x+18y=108-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

მიუმატეთ 9x -9x-ს. პირობები 9x და -9x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$18y+2y=108-12$$

მიუმატეთ 18y 2y-ს.

$$20y=108-12$$

მიუმატეთ 108 -12-ს.

$$20y=96$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$y=\frac{24}{5}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{24}{5}-ით y აქ: 9x-2y=12. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

გაამრავლეთ -2-ზე \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

მიუმატეთ \frac{48}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x=\frac{108}{5}$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$x=\frac{12}{5}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$