გადაწყვიტეთ x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+1-ზე.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 6x და 9x, რათა მიიღოთ 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2-ზე.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 15x და -2x, რათა მიიღოთ 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

შეკრიბეთ 3 და 4, რათა მიიღოთ 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

გამოაკელით 6x^{2} ორივე მხარეს.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

შეკრიბეთ 7 და 12, რათა მიიღოთ 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -6x^{2}+ax+bx+19. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 13.

$$a=19 b=-6$$

ხელახლა დაწერეთ -6x^{2}+13x+19, როგორც \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

-x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 6x-19 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 6x-19=0 და -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+1-ზე.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 6x და 9x, რათა მიიღოთ 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2-ზე.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 15x და -2x, რათა მიიღოთ 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

შეკრიბეთ 3 და 4, რათა მიიღოთ 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

გამოაკელით 6x^{2} ორივე მხარეს.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

დაამატეთ 12 ორივე მხარეს.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

შეკრიბეთ 7 და 12, რათა მიიღოთ 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -6-ით a, 13-ით b და 19-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ 24-ზე 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

მიუმატეთ 169 456-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

აიღეთ 625-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±25}{-12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 25-ს.

$$x=\frac{12}{-12}$$

გაყავით 12 -12-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±25}{-12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 25 -13-ს.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-38}{-12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{19}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6-ზე, 2,3-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 3x+1-ზე.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 6x და 9x, რათა მიიღოთ 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 x-2-ზე.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

დააჯგუფეთ 15x და -2x, რათა მიიღოთ 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

შეკრიბეთ 3 და 4, რათა მიიღოთ 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

გამოაკელით 6x^{2} ორივე მხარეს.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

გამოაკელით 7 ორივე მხარეს.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

გამოაკელით 7 -12-ს -19-ის მისაღებად.

$$13x-6x^{2}=-19$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

ორივე მხარე გაყავით -6-ზე.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

-6-ზე გაყოფა აუქმებს -6-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

გაყავით 13 -6-ზე.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

გაყავით -19 -6-ზე.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

გაყავით -\frac{13}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{13}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{13}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{13}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

მიუმატეთ \frac{19}{6} \frac{169}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

მიუმატეთ \frac{13}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$