გადაწყვიტეთ t^2+11t+24=0

$$t ^ { 2 } + 11 t + 24 = 0$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=-8$$

$$t=-3$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ t^{2}+11t+24 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=24$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=3 b=8$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(t+a\right)\left(t+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით t+3=0 და t+8=0.

$$t=-3 t=-8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც t^{2}+at+bt+24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=11 ab=1\times 24=24$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 11.

$$a=3 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ t^{2}+11t+24, როგორც \left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right).

$$\left(t^{2}+3t\right)+\left(8t+24\right)$$

t-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$t\left(t+3\right)+8\left(t+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი t+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(t+3\right)\left(t+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით t+3=0 და t+8=0.

$$t=-3 t=-8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$t^{2}+11t+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 11-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 24}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 24.

$$t=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2}$$

მიუმატეთ 121 -96-ს.

$$t=\frac{-11±\sqrt{25}}{2}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-11±5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-11±5}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 5-ს.

$$t=-\frac{6}{2}$$

გაყავით -6 2-ზე.

$$t=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-11±5}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 -11-ს.

$$t=-\frac{16}{2}$$

გაყავით -16 2-ზე.

$$t=-8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=-3 t=-8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+11t+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$t^{2}+11t+24-24=-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$t^{2}+11t=-24$$

გაყავით 11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}+11t+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ -24 \frac{121}{4}-ს.

$$t^{2}+11t+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}+11t+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$t+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} t+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

გამოაკელით \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=-3 t=-8$$