გადაწყვიტეთ n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-14$$

$$n=15$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ n^{2}-n-210 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=-210$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-15 b=14$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(n+a\right)\left(n+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-15=0 და n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც n^{2}+an+bn-210. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-15 b=14$$

ხელახლა დაწერეთ n^{2}-n-210, როგორც \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

n-ის პირველ, 14-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-15 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-15=0 და n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$n^{2}-n-210=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -1-ით b და -210-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

მიუმატეთ 1 840-ს.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

აიღეთ 841-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{1±29}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 29-ს.

$$n=\frac{30}{2}$$

გაყავით 30 2-ზე.

$$n=15$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{1±29}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 29 1-ს.

$$n=-\frac{28}{2}$$

გაყავით -28 2-ზე.

$$n=-14$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=15 n=-14$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

მიუმატეთ 210 განტოლების ორივე მხარეს.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

გამოაკელით -210 0-ს.

$$n^{2}-n=210$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 210 \frac{1}{4}-ს.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-n+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=15 n=-14$$