გადაწყვიტეთ n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-4$$

$$n=15$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ n^{2}-11n-60 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-15 b=4$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(n+a\right)\left(n+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-15=0 და n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც n^{2}+an+bn-60. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-15 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ n^{2}-11n-60, როგორც \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

n-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-15 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-15=0 და n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$n^{2}-11n-60=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -11-ით b და -60-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

მიუმატეთ 121 240-ს.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{11±19}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 19-ს.

$$n=\frac{30}{2}$$

გაყავით 30 2-ზე.

$$n=15$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{11±19}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 11-ს.

$$n=-\frac{8}{2}$$

გაყავით -8 2-ზე.

$$n=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=15 n=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

მიუმატეთ 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

გამოაკელით -60 0-ს.

$$n^{2}-11n=60$$

გაყავით -11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ 60 \frac{121}{4}-ს.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-11n+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=15 n=-4$$