გადაწყვიტეთ n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-25$$

$$n=20$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

გამოაკელით 500 ორივე მხარეს.

$$n^{2}+5n-500=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ n^{2}+5n-500 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=-500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-20 b=25$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(n+a\right)\left(n+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-20=0 და n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 500 ორივე მხარეს.

$$n^{2}+5n-500=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც n^{2}+an+bn-500. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-20 b=25$$

ხელახლა დაწერეთ n^{2}+5n-500, როგორც \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

n-ის პირველ, 25-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-20 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-20=0 და n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$n^{2}+5n=500$$

გამოაკელით 500 განტოლების ორივე მხარეს.

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

500-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$n^{2}+5n-500=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 5-ით b და -500-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -500.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

მიუმატეთ 25 2000-ს.

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

აიღეთ 2025-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-5±45}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 45-ს.

$$n=\frac{40}{2}$$

გაყავით 40 2-ზე.

$$n=20$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-5±45}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 45 -5-ს.

$$n=-\frac{50}{2}$$

გაყავით -50 2-ზე.

$$n=-25$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=20 n=-25$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+5n=500$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 500 \frac{25}{4}-ს.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}+5n+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=20 n=-25$$