გადაწყვიტეთ kx^2-(2k+1)x+k+1=0

$$k x ^ { 2 } - ( 2 k + 1 ) x + k + 1 = 0$$

ამოხსნა k-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}k=\frac{1}{x-1}\text{, }&x\neq 1\\k\in \mathrm{C}\text{, }&x=1\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2k+1 x-ზე.

$$kx^{2}-\left(2kx+x\right)+k+1=0$$

2kx+x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$kx^{2}-2kx-x+k+1=0$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$kx^{2}-2kx+k+1=x$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$kx^{2}-2kx+k=x-1$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: k.

$$\left(x^{2}-2x+1\right)k=x-1$$

ორივე მხარე გაყავით x^{2}-2x+1-ზე.

$$\frac{\left(x^{2}-2x+1\right)k}{x^{2}-2x+1}=\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}$$

x^{2}-2x+1-ზე გაყოფა აუქმებს x^{2}-2x+1-ზე გამრავლებას.

$$k=\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}$$

გაყავით -1+x x^{2}-2x+1-ზე.

$$k=\frac{1}{x-1}$$

ამოხსნა k-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}k=\frac{1}{x-1}\text{, }&x\neq 1\\k\in \mathrm{R}\text{, }&x=1\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2k+1 x-ზე.

$$kx^{2}-\left(2kx+x\right)+k+1=0$$

2kx+x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$kx^{2}-2kx-x+k+1=0$$

დაამატეთ x ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$kx^{2}-2kx+k+1=x$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$kx^{2}-2kx+k=x-1$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: k.

$$\left(x^{2}-2x+1\right)k=x-1$$

ორივე მხარე გაყავით x^{2}-2x+1-ზე.

$$\frac{\left(x^{2}-2x+1\right)k}{x^{2}-2x+1}=\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}$$

x^{2}-2x+1-ზე გაყოფა აუქმებს x^{2}-2x+1-ზე გამრავლებას.

$$k=\frac{x-1}{x^{2}-2x+1}$$

გაყავით -1+x x^{2}-2x+1-ზე.

$$k=\frac{1}{x-1}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\x=1\text{, }&\text{unconditionally}\\x=1+\frac{1}{k}\text{, }&k\neq 0\end{matrix}\right.$$