გადაწყვიტეთ f^-1(x)=sqrt{x^2+1}-x

$$f ^ { - 1 } ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x$$

ამოხსნა f-ისთვის

$$f=-\frac{x}{-\sqrt{x^{2}+1}+x}$$

$$x\neq 0$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გადაალაგეთ წევრები.

$$\frac{1}{f}x=\sqrt{x^{2}+1}-x$$

ცვლადი f არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ f-ზე.

$$1x=f\sqrt{x^{2}+1}-xf$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$f\sqrt{x^{2}+1}-xf=1x$$

გადაალაგეთ წევრები.

$$f\sqrt{x^{2}+1}-fx=x$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: f.

$$\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)f=x$$

ორივე მხარე გაყავით \sqrt{x^{2}+1}-x-ზე.

$$\frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)f}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-x}$$

\sqrt{x^{2}+1}-x-ზე გაყოფა აუქმებს \sqrt{x^{2}+1}-x-ზე გამრავლებას.

$$f=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}-x}$$

გაყავით x \sqrt{x^{2}+1}-x-ზე.

$$f=x\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)$$

ცვლადი f არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი.

$$f=x\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\text{, }f\neq 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}}f\text{, }&f\neq 0\text{ and }\left(f=-1\text{ or }arg(\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}}f+\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}})<\pi \right)\text{ and }f\neq -\frac{1}{2}\\x=-\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}}f\text{, }&f\neq 0\text{ and }\left(f=-1\text{ or }arg(-\left(\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}}f+\left(2f+1\right)^{-\frac{1}{2}}\right))<\pi \right)\text{ and }f\neq -\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{f}{\sqrt{2f+1}}$$

$$f>-\frac{1}{2}\text{ and }f\neq 0$$