გადაწყვიტეთ ex^2+3x+4=0

$$e x ^ { 2 } + 3 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0.551819162+1.080283934i$$

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0.551819162-1.080283934i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ e-ით a, 3-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4e\times 4}}{2e}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4e\times 4}}{2e}$$

გაამრავლეთ -4-ზე e.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4e\right)\times 4}}{2e}$$

გაამრავლეთ -4e-ზე 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16e}}{2e}$$

აიღეთ 9-16e-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{-\left(9-16e\right)}-ს.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{-\left(9-16e\right)} -3-ს.

$$x=\frac{-i\sqrt{16e-9}-3}{2e}$$

გაყავით -3-i\sqrt{-9+16e} 2e-ზე.

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$ex^{2}+3x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$ex^{2}+3x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით e-ზე.

$$\frac{ex^{2}+3x}{e}=-\frac{4}{e}$$

e-ზე გაყოფა აუქმებს e-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x=-\frac{4}{e}$$

გაყავით \frac{3}{e}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2e}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2e}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}=-\frac{4}{e}+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2e}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=-\frac{4}{e}+\frac{9}{4e^{2}}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{e} \frac{9}{4e^{2}}-ს.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2e}=\frac{i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} x+\frac{3}{2e}=-\frac{i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

გამოაკელით \frac{3}{2e} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$