გადაწყვიტეთ 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -12-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 144 -72-ს.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

აიღეთ 72-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 6\sqrt{2}-ს.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

გაყავით 12+6\sqrt{2} 18-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{2} 12-ს.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

გაყავით 12-6\sqrt{2} 18-ზე.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{2}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$