გადაწყვიტეთ 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0.277777778+0.606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0.277777778-0.606039562i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -5-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 25 -144-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

აიღეთ -119-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 i\sqrt{119}-ს.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{119} 5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

გაყავით -\frac{5}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{18}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{18}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{18} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{9} \frac{25}{324}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

მიუმატეთ \frac{5}{18} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$