გადაწყვიტეთ 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0.743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0.298935084$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -4-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 16 72-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

აიღეთ 88-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 2\sqrt{22}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

გაყავით 4+2\sqrt{22} 18-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{22} 4-ს.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

გაყავით 4-2\sqrt{22} 18-ზე.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

გამოაკელით -2 0-ს.

$$9x^{2}-4x=2$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

გაყავით -\frac{4}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{9}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{9}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{9} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

მიუმატეთ \frac{2}{9} \frac{4}{81}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

მიუმატეთ \frac{2}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$