გადაწყვიტეთ 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

$$x=20$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx-500. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -155.

$$a=-180 b=25$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}-155x-500, როგორც \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

9x-ის პირველ, 25-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-20 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-20=0 და 9x+25=0.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -155-ით b და -500-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 24025 18000-ს.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

აიღეთ 42025-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

-155-ის საპირისპიროა 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{155±205}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 155 205-ს.

$$x=\frac{360}{18}$$

გაყავით 360 18-ზე.

$$x=20$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{155±205}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 205 155-ს.

$$x=-\frac{50}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-50}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{25}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

მიუმატეთ 500 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

-500-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

გამოაკელით -500 0-ს.

$$9x^{2}-155x=500$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

გაყავით -\frac{155}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{155}{18}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{155}{18}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{155}{18} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

მიუმატეთ \frac{500}{9} \frac{24025}{324}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

მიუმატეთ \frac{155}{18} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$