გადაწყვიტეთ 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -14-ით b და -14-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 196 504-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

აიღეთ 700-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 10\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

გაყავით 14+10\sqrt{7} 18-ზე.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10\sqrt{7} 14-ს.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

გაყავით 14-10\sqrt{7} 18-ზე.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

მიუმატეთ 14 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

-14-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

გამოაკელით -14 0-ს.

$$9x^{2}-14x=14$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

გაყავით -\frac{14}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{9}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{9}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{9} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

მიუმატეთ \frac{14}{9} \frac{49}{81}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

მიუმატეთ \frac{7}{9} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$