გადაწყვიტეთ 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0.276142375$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -12-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 144 144-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

აიღეთ 288-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 12\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

გაყავით 12+12\sqrt{2} 18-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12\sqrt{2} 12-ს.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

გაყავით 12-12\sqrt{2} 18-ზე.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$9x^{2}-12x=4$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

მიუმატეთ \frac{4}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$