გადაწყვიტეთ 9x^2+x+11=0

$$9 x ^ { 2 } + x + 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18}\approx -0.055555556+1.104144829i$$

$$x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}\approx -0.055555556-1.104144829i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+x+11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 1-ით b და 11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 9\times 11}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 9\times 11}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-36\times 11}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-396}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 1 -396-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-395}}{2\times 9}$$

აიღეთ -395-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 i\sqrt{395}-ს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±\sqrt{395}i}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{395} -1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18} x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+x+11=0$$

გამოაკელით 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+x+11-11=-11$$

11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+x=-11$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+x}{9}=-\frac{11}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x=-\frac{11}{9}$$

გაყავით \frac{1}{9}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{18}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{18}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\left(\frac{1}{18}\right)^{2}=-\frac{11}{9}+\left(\frac{1}{18}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{18} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=-\frac{11}{9}+\frac{1}{324}$$

მიუმატეთ -\frac{11}{9} \frac{1}{324}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=-\frac{395}{324}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{18}\right)^{2}=-\frac{395}{324}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{395}{324}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{18}=\frac{\sqrt{395}i}{18} x+\frac{1}{18}=-\frac{\sqrt{395}i}{18}$$

გამოაკელით \frac{1}{18} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{395}i}{18} x=\frac{-\sqrt{395}i-1}{18}$$