გადაწყვიტეთ 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0.100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1.100925213$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+9x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 9-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 81 36-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

აიღეთ 117-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 3\sqrt{13}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

გაყავით -9+3\sqrt{13} 18-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{13} -9-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

გაყავით -9-3\sqrt{13} 18-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

გაყავით 9 9-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{9} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$