გადაწყვიტეთ 9x^2+30x+25=0

$$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx+25. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=30 ab=9\times 25=225$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 30.

$$a=15 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}+30x+25, როგორც \left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right).

$$\left(9x^{2}+15x\right)+\left(15x+25\right)$$

3x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+5\right)\left(3x+5\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(3x+5\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 3x+5=0.

$$x=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 30-ით b და 25-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 900 -900-ს.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{30}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=-\frac{30}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+30x+25=0$$

გამოაკელით 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+30x+25-25=-25$$

25-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+30x=-25$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{25}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

გაყავით \frac{10}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{25}{9} \frac{25}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{3}=0 x+\frac{5}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{5}{3} x=-\frac{5}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=-\frac{5}{3}$$