გადაწყვიტეთ 9x^2+3x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}\approx -0.166666667+0.986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}\approx -0.166666667-0.986013297i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 3-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36\times 9}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-324}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 9 -324-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-315}}{2\times 9}$$

აიღეთ -315-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 3i\sqrt{35}-ს.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{35}i}{18}$$

გაყავით -3+3i\sqrt{35} 18-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±3\sqrt{35}i}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3i\sqrt{35} -3-ს.

$$x=\frac{-3\sqrt{35}i-3}{18}$$

გაყავით -3-3i\sqrt{35} 18-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+3x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+3x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+3x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+3x}{9}=-\frac{9}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{9}x=-\frac{9}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{3}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{9}{9}$$

გაყავით -9 9-ზე.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-1$$

გაყავით \frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{36}-ს.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i-1}{6}$$