გადაწყვიტეთ 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9t^{2}+at+bt+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 9.

$$1,9 3,3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+9=10 3+3=6$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 6.

$$a=3 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 9t^{2}+6t+1, როგორც \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 3t 9t^{2}+3t-ში.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3t+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 6-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 36 -36-ს.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$t=-\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{9} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$t=-\frac{1}{3}$$