გადაწყვიტეთ 9n^2-3n-8=10

$$9 n ^ { 2 } - 3 n - 8 = 10$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n = \frac{\sqrt{73} + 1}{6} \approx 1.590667291$$

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}\approx -1.257333958$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9n^{2}-3n-8-10=10-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9n^{2}-3n-8-10=0$$

გამოაკელით 10 -8-ს.

$$9n^{2}-3n-18=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -3-ით b და -18-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 9\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-36\left(-18\right)}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე -18.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+648}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 9 648-ს.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{657}}{2\times 9}$$

აიღეთ 657-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 3\sqrt{73}-ს.

$$n=\frac{3\sqrt{73}+3}{18}$$

გაყავით 3+3\sqrt{73} 18-ზე.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{3±3\sqrt{73}}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{73} 3-ს.

$$n=\frac{3-3\sqrt{73}}{18}$$

გაყავით 3-3\sqrt{73} 18-ზე.

$$n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-3n-8=10$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9n^{2}-3n-8-\left(-8\right)=10-\left(-8\right)$$

-8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9n^{2}-3n=10-\left(-8\right)$$

გამოაკელით -8 10-ს.

$$9n^{2}-3n=18$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9n^{2}-3n}{9}=\frac{18}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}+\left(-\frac{3}{9}\right)n=\frac{18}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=\frac{18}{9}$$

გაყავით 18 9-ზე.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n=2$$

გაყავით -\frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=2+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{36}-ს.

$$n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{73}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} n-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

მიუმატეთ \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=\frac{\sqrt{73}+1}{6} n=\frac{1-\sqrt{73}}{6}$$