გადაწყვიტეთ 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 3n^{2} ორივე მხარეს.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 9n^{2} და -3n^{2}, რათა მიიღოთ 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 6n^{2}+an+bn+20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -23.

$$a=-15 b=-8$$

ხელახლა დაწერეთ 6n^{2}-23n+20, როგორც \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

3n-ის პირველ, -4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2n-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2n-5=0 და 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოაკელით 3n^{2} ორივე მხარეს.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 9n^{2} და -3n^{2}, რათა მიიღოთ 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 6-ით a, -23-ით b და 20-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

აიყვანეთ კვადრატში -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ -24-ზე 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

მიუმატეთ 529 -480-ს.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

-23-ის საპირისპიროა 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{23±7}{12} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 23 7-ს.

$$n=\frac{30}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$n=\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{23±7}{12} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 23-ს.

$$n=\frac{16}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{16}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$n=\frac{4}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოაკელით 3n^{2} ორივე მხარეს.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 9n^{2} და -3n^{2}, რათა მიიღოთ 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

გამოაკელით 20 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$6n^{2}-23n=-20$$

ორივე მხარე გაყავით 6-ზე.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

6-ზე გაყოფა აუქმებს 6-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-20}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

გაყავით -\frac{23}{6}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{23}{12}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{23}{12}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{23}{12} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

მიუმატეთ -\frac{10}{3} \frac{529}{144}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

მიუმატეთ \frac{23}{12} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$