გადაწყვიტეთ 9(2x+3)^2-4(2x-5)^2=0

$$9 ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 2 x - 5 ) ^ { 2 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{19}{2} = -9\frac{1}{2} = -9.5$$

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x^{2}+12x+9-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-5\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 4x^{2}-20x+25-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 36x^{2} და -16x^{2}, რათა მიიღოთ 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 108x და 80x, რათა მიიღოთ 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

გამოაკელით 100 81-ს -19-ის მისაღებად.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 20x^{2}+ax+bx-19. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=188 ab=20\left(-19\right)=-380$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 188.

$$a=-2 b=190$$

ხელახლა დაწერეთ 20x^{2}+188x-19, როგორც \left(20x^{2}-2x\right)+\left(190x-19\right).

$$\left(20x^{2}-2x\right)+\left(190x-19\right)$$

2x-ის პირველ, 19-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(10x-1\right)+19\left(10x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 10x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(10x-1\right)\left(2x+19\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 10x-1=0 და 2x+19=0.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x^{2}+12x+9-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-5\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 4x^{2}-20x+25-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 36x^{2} და -16x^{2}, რათა მიიღოთ 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 108x და 80x, რათა მიიღოთ 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

გამოაკელით 100 81-ს -19-ის მისაღებად.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 20-ით a, 188-ით b და -19-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-188±\sqrt{188^{2}-4\times 20\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

აიყვანეთ კვადრატში 188.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344-4\times 20\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 20.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344-80\left(-19\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -80-ზე -19.

$$x=\frac{-188±\sqrt{35344+1520}}{2\times 20}$$

მიუმატეთ 35344 1520-ს.

$$x=\frac{-188±\sqrt{36864}}{2\times 20}$$

აიღეთ 36864-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-188±192}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 20.

$$x=\frac{-188±192}{40}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-188±192}{40} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -188 192-ს.

$$x=\frac{4}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-188±192}{40} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 192 -188-ს.

$$x=-\frac{380}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-380}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 20-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{19}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$9\left(4x^{2}+12x+9\right)-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 9 4x^{2}+12x+9-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(2x-5\right)^{2}=0$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x-5\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$36x^{2}+108x+81-4\left(4x^{2}-20x+25\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -4 4x^{2}-20x+25-ზე.

$$36x^{2}+108x+81-16x^{2}+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 36x^{2} და -16x^{2}, რათა მიიღოთ 20x^{2}.

$$20x^{2}+108x+81+80x-100=0$$

დააჯგუფეთ 108x და 80x, რათა მიიღოთ 188x.

$$20x^{2}+188x+81-100=0$$

გამოაკელით 100 81-ს -19-ის მისაღებად.

$$20x^{2}+188x-19=0$$

დაამატეთ 19 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$20x^{2}+188x=19$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$\frac{20x^{2}+188x}{20}=\frac{19}{20}$$

20-ზე გაყოფა აუქმებს 20-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{188}{20}x=\frac{19}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{188}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x=\frac{19}{20}$$

გაყავით \frac{47}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{47}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{47}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\left(\frac{47}{10}\right)^{2}=\frac{19}{20}+\left(\frac{47}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{47}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100}=\frac{19}{20}+\frac{2209}{100}$$

მიუმატეთ \frac{19}{20} \frac{2209}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100}=\frac{576}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{47}{5}x+\frac{2209}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{47}{10}\right)^{2}=\frac{576}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{47}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{576}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{47}{10}=\frac{24}{5} x+\frac{47}{10}=-\frac{24}{5}$$

გამოაკელით \frac{47}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{10} x=-\frac{19}{2}$$