გადაწყვიტეთ 9x^2-12x+10=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+10=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}\approx 0.666666667+0.816496581i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}\approx 0.666666667-0.816496581i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, -12-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 10}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 10}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -36-ზე 10.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-360}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 144 -360-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-216}}{2\times 9}$$

აიღეთ -216-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 6i\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{12+6\sqrt{6}i}{18}$$

გაყავით 12+6i\sqrt{6} 18-ზე.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±6\sqrt{6}i}{18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6i\sqrt{6} 12-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+12}{18}$$

გაყავით 12-6i\sqrt{6} 18-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-12x+10-10=-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}-12x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{10}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{10}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{10}{9}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-10+4}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{10}{9} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{2}{3}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{3}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{3}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{6}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{6}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2+\sqrt{6}i}{3} x=\frac{-\sqrt{6}i+2}{3}$$