გადაწყვიტეთ 9x^2+6x+1=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+1=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 9.

$$1,9 3,3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+9=10 3+3=6$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 6.

$$a=3 b=3$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}+6x+1, როგორც \left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 3x 9x^{2}+3x-ში.

$$3x\left(3x+1\right)+3x+1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(3x+1\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 3x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 9-ით a, 6-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

მიუმატეთ 36 -36-ს.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{6}{2\times 9}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 9.

$$x=-\frac{6}{18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+6x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$9x^{2}+6x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{1}{9}$$

9-ზე გაყოფა აუქმებს 9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{1}{9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{9} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=0 x+\frac{1}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=-\frac{1}{3}$$