გადაწყვიტეთ 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 84-ით a, 4\sqrt{3}-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

გაამრავლეთ -336-ზე 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

მიუმატეთ 48 -1008-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

აიღეთ -960-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4\sqrt{3} 8i\sqrt{15}-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

გაყავით -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} 168-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8i\sqrt{15} -4\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

გაყავით -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} 168-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 84-ზე.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

84-ზე გაყოფა აუქმებს 84-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

გაყავით 4\sqrt{3} 84-ზე.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{84} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

გაყავით \frac{\sqrt{3}}{21}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{\sqrt{3}}{42}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{\sqrt{3}}{42}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{28} \frac{1}{588}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

გამოაკელით \frac{\sqrt{3}}{42} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$