გადაწყვიტეთ 81x^2-54x+9=0

$$81 x ^ { 2 } - 54 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$9x^{2}-6x+1=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 9x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-6 ab=9\times 1=9$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -6.

$$a=-3 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ 9x^{2}-6x+1, როგორც \left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right)$$

3x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-1\right)\left(3x-1\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(3x-1\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 81-ით a, -54-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

აიყვანეთ კვადრატში -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-324\times 9}}{2\times 81}$$

გაამრავლეთ -324-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 81}$$

მიუმატეთ 2916 -2916-ს.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{-54}{2\times 81}$$

-54-ის საპირისპიროა 54.

$$x=\frac{54}{2\times 81}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 81.

$$x=\frac{54}{162}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{54}{162} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 54-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$81x^{2}-54x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$81x^{2}-54x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 81-ზე.

$$\frac{81x^{2}-54x}{81}=-\frac{9}{81}$$

81-ზე გაყოფა აუქმებს 81-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{81}\right)x=-\frac{9}{81}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-54}{81} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 27-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{81}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-9}{81} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 9-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{9} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=\frac{1}{3}$$