გადაწყვიტეთ 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1.112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0.112372436$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, -8-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 64 32-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

აიღეთ 96-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 4\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

გაყავით 8+4\sqrt{6} 16-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{6} 8-ს.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

გაყავით 8-4\sqrt{6} 16-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$8x^{2}-8x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

გაყავით -8 8-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{8} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$