გადაწყვიტეთ 8x^2-22x-21=0

$$8 x ^ { 2 } - 22 x - 21 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 8x^{2}+ax+bx-21. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-22 ab=8\left(-21\right)=-168$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -22.

$$a=-28 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 8x^{2}-22x-21, როგორც \left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(6x-21\right)$$

4x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(2x-7\right)+3\left(2x-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-7\right)\left(4x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-7=0 და 4x+3=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, -22-ით b და -21-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე -21.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+672}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 484 672-ს.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{1156}}{2\times 8}$$

აიღეთ 1156-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±34}{2\times 8}$$

-22-ის საპირისპიროა 22.

$$x=\frac{22±34}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{22±34}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{22±34}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 22 34-ს.

$$x=\frac{56}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{56}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{7}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{22±34}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 34 22-ს.

$$x=-\frac{12}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-22x-21=0$$

მიუმატეთ 21 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}-22x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}-22x=-\left(-21\right)$$

გამოაკელით -21 0-ს.

$$8x^{2}-22x=21$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}-22x}{8}=\frac{21}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{22}{8}\right)x=\frac{21}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-22}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{21}{8}$$

გაყავით -\frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{21}{8}+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ \frac{21}{8} \frac{121}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{289}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{17}{8}$$

მიუმატეთ \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{3}{4}$$