გადაწყვიტეთ 8x^2-2x+1=0

$$8 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8}\approx 0.125+0.330718914i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}\approx 0.125-0.330718914i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}-2x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, -2-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 8}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-32}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 4 -32-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-28}}{2\times 8}$$

აიღეთ -28-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 8}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{7}i}{16}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{7} 16-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{7}i}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{7} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}i+2}{16}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{7} 16-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-2x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}-2x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}-2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}-2x}{8}=-\frac{1}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{8}\right)x=-\frac{1}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=-\frac{1}{8}$$

გაყავით -\frac{1}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{8} \frac{1}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{7}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{7}i}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{7}i}{8}$$

მიუმატეთ \frac{1}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-\sqrt{7}i+1}{8}$$