გადაწყვიტეთ 8x^2+72x+108=0

$$8 x ^ { 2 } + 72 x + 108 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}\approx -1.901923789$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}\approx -7.098076211$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, 72-ით b და 108-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში 72.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 8\times 108}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-32\times 108}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე 108.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3456}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 5184 -3456-ს.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1728}}{2\times 8}$$

აიღეთ 1728-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -72 24\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{24\sqrt{3}-72}{16}$$

გაყავით -72+24\sqrt{3} 16-ზე.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-72±24\sqrt{3}}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 24\sqrt{3} -72-ს.

$$x=\frac{-24\sqrt{3}-72}{16}$$

გაყავით -72-24\sqrt{3} 16-ზე.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+72x+108=0$$

გამოაკელით 108 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}+72x+108-108=-108$$

108-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}+72x=-108$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}+72x}{8}=-\frac{108}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{72}{8}x=-\frac{108}{8}$$

გაყავით 72 8-ზე.

$$x^{2}+9x=-\frac{108}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-108}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+9x=-\frac{27}{2}$$

გაყავით 9, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{9}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{9}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{9}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{27}{2}+\frac{81}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{27}{2} \frac{81}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{27}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+9x+\frac{81}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

გამოაკელით \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3\sqrt{3}-9}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}-9}{2}$$