გადაწყვიტეთ 8x^2+22x-52=0

$$8 x ^ { 2 } + 22 x - 52 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{537} - 11}{8} \approx 1.521657557$$

$$x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}\approx -4.271657557$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}+22x-52=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, 22-ით b და -52-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 8\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში 22.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\times 8\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-32\left(-52\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე -52.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+1664}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 484 1664-ს.

$$x=\frac{-22±\sqrt{2148}}{2\times 8}$$

აიღეთ 2148-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -22 2\sqrt{537}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{537}-22}{16}$$

გაყავით -22+2\sqrt{537} 16-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-22±2\sqrt{537}}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{537} -22-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{537}-22}{16}$$

გაყავით -22-2\sqrt{537} 16-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8} x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+22x-52=0$$

მიუმატეთ 52 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}+22x-52-\left(-52\right)=-\left(-52\right)$$

-52-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}+22x=-\left(-52\right)$$

გამოაკელით -52 0-ს.

$$8x^{2}+22x=52$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}+22x}{8}=\frac{52}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{22}{8}x=\frac{52}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{22}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{52}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{52}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{13}{2}$$

გაყავით \frac{11}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{13}{2}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{13}{2}+\frac{121}{64}$$

მიუმატეთ \frac{13}{2} \frac{121}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{537}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{537}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{537}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{537}}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{537}}{8}$$

გამოაკელით \frac{11}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{537}-11}{8} x=\frac{-\sqrt{537}-11}{8}$$