გადაწყვიტეთ 8x^2+13x+10=0

$$8 x ^ { 2 } + 13 x + 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}\approx -0.8125+0.768012858i$$

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}\approx -0.8125-0.768012858i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, 13-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 8\times 10}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-32\times 10}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე 10.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-320}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 169 -320-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{-151}}{2\times 8}$$

აიღეთ -151-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 i\sqrt{151}-ს.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±\sqrt{151}i}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{151} -13-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+13x+10=0$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}+13x+10-10=-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}+13x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}+13x}{8}=-\frac{10}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x=-\frac{5}{4}$$

გაყავით \frac{13}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{13}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{13}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{13}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{13}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{5}{4}+\frac{169}{256}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{4} \frac{169}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}=-\frac{151}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{13}{8}x+\frac{169}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}=-\frac{151}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{13}{16}=\frac{\sqrt{151}i}{16} x+\frac{13}{16}=-\frac{\sqrt{151}i}{16}$$

გამოაკელით \frac{13}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-13+\sqrt{151}i}{16} x=\frac{-\sqrt{151}i-13}{16}$$