გადაწყვიტეთ 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 8x^{2}+ax+bx-7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-4 b=14$$

ხელახლა დაწერეთ 8x^{2}+10x-7, როგორც \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

4x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0 და 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, 10-ით b და -7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 100 224-ს.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

აიღეთ 324-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±18}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 18-ს.

$$x=\frac{8}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{8}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±18}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 18 -10-ს.

$$x=-\frac{28}{16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-28}{16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{7}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

მიუმატეთ 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

გამოაკელით -7 0-ს.

$$8x^{2}+10x=7$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

გაყავით \frac{5}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

მიუმატეთ \frac{7}{8} \frac{25}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

გამოაკელით \frac{5}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$