გადაწყვიტეთ 8x^2-4x=18

$$8 { x }^{ 2 } -4x=18$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{37} + 1}{4} \approx 1.770690633$$

$$x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}\approx -1.270690633$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$8x^{2}-4x=18$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$8x^{2}-4x-18=18-18$$

18-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$8x^{2}-4x-18=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 8-ით a, -4-ით b და -18-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 8\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 8\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-32\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ -32-ზე -18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+576}}{2\times 8}$$

მიუმატეთ 16 576-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{592}}{2\times 8}$$

აიღეთ 592-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{37}}{2\times 8}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{37}}{2\times 8}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 8.

$$x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 4\sqrt{37}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+4}{16}$$

გაყავით 4+4\sqrt{37} 16-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{37} 4-ს.

$$x=\frac{4-4\sqrt{37}}{16}$$

გაყავით 4-4\sqrt{37} 16-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-4x=18$$

ორივე მხარე გაყავით 8-ზე.

$$\frac{8x^{2}-4x}{8}=\frac{18}{8}$$

8-ზე გაყოფა აუქმებს 8-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{8}\right)x=\frac{18}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{18}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{4}$$

გაყავით -\frac{1}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} \frac{1}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{37}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{37}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{37}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{37}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$