გადაწყვიტეთ 7x-5/2x^2-5/2x=1000

$$7x- \frac{ 5 }{ 2 } { x }^{ 2 } - \frac{ 5 }{ 2 } x=1000$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}\approx 0.9+19.979739738i$$

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}\approx 0.9-19.979739738i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

დააჯგუფეთ 7x და -\frac{5}{2}x, რათა მიიღოთ \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

გამოაკელით 1000 ორივე მხარეს.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}-1000=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x-1000=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -\frac{5}{2}-ით a, \frac{9}{2}-ით b და -1000-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{9}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-\frac{5}{2}\right)\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}+10\left(-1000\right)}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

გაამრავლეთ 10-ზე -1000.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{\frac{81}{4}-10000}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

მიუმატეთ \frac{81}{4} -10000-ს.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\sqrt{-\frac{39919}{4}}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

აიღეთ -\frac{39919}{4}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{2\left(-\frac{5}{2}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{5}{2}.

$$x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{9}{2} \frac{i\sqrt{39919}}{2}-ს.

$$x=\frac{-9+\sqrt{39919}i}{-5\times 2}$$

გაყავით \frac{-9+i\sqrt{39919}}{2} -5-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{9}{2}±\frac{\sqrt{39919}i}{2}}{-5} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{i\sqrt{39919}}{2} -\frac{9}{2}-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i-9}{-5\times 2}$$

გაყავით \frac{-9-i\sqrt{39919}}{2} -5-ზე.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10} x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

დააჯგუფეთ 7x და -\frac{5}{2}x, რათა მიიღოთ \frac{9}{2}x.

$$\frac{9}{2}x-\frac{5}{2}x^{2}=1000$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x=1000$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით -\frac{5}{2}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\frac{-\frac{5}{2}x^{2}+\frac{9}{2}x}{-\frac{5}{2}}=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

-\frac{5}{2}-ზე გაყოფა აუქმებს -\frac{5}{2}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{\frac{9}{2}}{-\frac{5}{2}}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

გაყავით \frac{9}{2} -\frac{5}{2}-ზე \frac{9}{2}-ის გამრავლებით -\frac{5}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{1000}{-\frac{5}{2}}$$

გაყავით 1000 -\frac{5}{2}-ზე 1000-ის გამრავლებით -\frac{5}{2}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-400$$

გაყავით -\frac{9}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-400+\frac{81}{100}$$

მიუმატეთ -400 \frac{81}{100}-ს.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{39919}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{39919}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{39919}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{39919}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{39919}i}{10}$$

მიუმატეთ \frac{9}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{9+\sqrt{39919}i}{10} x=\frac{-\sqrt{39919}i+9}{10}$$