გადაწყვიტეთ 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 15x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-3 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ 15x^{2}+7x-2, როგორც \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

3x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-1=0 და 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 75-ით a, 35-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

აიყვანეთ კვადრატში 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

გაამრავლეთ -300-ზე -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

მიუმატეთ 1225 3000-ს.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

აიღეთ 4225-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-35±65}{150} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -35 65-ს.

$$x=\frac{30}{150}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{150} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 30-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-35±65}{150} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 65 -35-ს.

$$x=-\frac{100}{150}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-100}{150} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 50-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$75x^{2}+35x=10$$

ორივე მხარე გაყავით 75-ზე.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

75-ზე გაყოფა აუქმებს 75-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{35}{75} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{75} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

გაყავით \frac{7}{15}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{30}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{30}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{30} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

მიუმატეთ \frac{2}{15} \frac{49}{900}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

გამოაკელით \frac{7}{30} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$