გადაწყვიტეთ 720+720/(x+1)+720/(x+1)^2=1820

$$720 + \frac { 720 } { ( x + 1 ) } + \frac { 720 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 1820$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

$$x = -\frac{17}{11} = -1\frac{6}{11} \approx -1.545454545$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x+1\right)^{2}-ზე, x+1,\left(x+1\right)^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)^{2}\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+2x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+720x+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ 1440x და 720x, რათა მიიღოთ 2160x.

$$720x^{2}+2160x+720+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 720 და 720, რათა მიიღოთ 1440.

$$720x^{2}+2160x+1440+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 1440 და 720, რათა მიიღოთ 2160.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x^{2}+2x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1820 x^{2}+2x+1-ზე.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820x^{2}+3640x+1820$$

გამოაკელით 1820x^{2} ორივე მხარეს.

$$720x^{2}+2160x+2160-1820x^{2}=3640x+1820$$

დააჯგუფეთ 720x^{2} და -1820x^{2}, რათა მიიღოთ -1100x^{2}.

$$-1100x^{2}+2160x+2160=3640x+1820$$

გამოაკელით 3640x ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}+2160x+2160-3640x=1820$$

დააჯგუფეთ 2160x და -3640x, რათა მიიღოთ -1480x.

$$-1100x^{2}-1480x+2160=1820$$

გამოაკელით 1820 ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}-1480x+2160-1820=0$$

გამოაკელით 1820 2160-ს 340-ის მისაღებად.

$$-1100x^{2}-1480x+340=0$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$-55x^{2}-74x+17=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -55x^{2}+ax+bx+17. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-74 ab=-55\times 17=-935$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -935.

$$1,-935 5,-187 11,-85 17,-55$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-935=-934 5-187=-182 11-85=-74 17-55=-38$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -74.

$$a=11 b=-85$$

ხელახლა დაწერეთ -55x^{2}-74x+17, როგორც \left(-55x^{2}+11x\right)+\left(-85x+17\right).

$$\left(-55x^{2}+11x\right)+\left(-85x+17\right)$$

-11x-ის პირველ, -17-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-11x\left(5x-1\right)-17\left(5x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-1\right)\left(-11x-17\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-1=0 და -11x-17=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{17}{11}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x+1\right)^{2}-ზე, x+1,\left(x+1\right)^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)^{2}\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+2x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+720x+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ 1440x და 720x, რათა მიიღოთ 2160x.

$$720x^{2}+2160x+720+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 720 და 720, რათა მიიღოთ 1440.

$$720x^{2}+2160x+1440+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 1440 და 720, რათა მიიღოთ 2160.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x^{2}+2x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1820 x^{2}+2x+1-ზე.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820x^{2}+3640x+1820$$

გამოაკელით 1820x^{2} ორივე მხარეს.

$$720x^{2}+2160x+2160-1820x^{2}=3640x+1820$$

დააჯგუფეთ 720x^{2} და -1820x^{2}, რათა მიიღოთ -1100x^{2}.

$$-1100x^{2}+2160x+2160=3640x+1820$$

გამოაკელით 3640x ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}+2160x+2160-3640x=1820$$

დააჯგუფეთ 2160x და -3640x, რათა მიიღოთ -1480x.

$$-1100x^{2}-1480x+2160=1820$$

გამოაკელით 1820 ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}-1480x+2160-1820=0$$

გამოაკელით 1820 2160-ს 340-ის მისაღებად.

$$-1100x^{2}-1480x+340=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1100-ით a, -1480-ით b და 340-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±\sqrt{\left(-1480\right)^{2}-4\left(-1100\right)\times 340}}{2\left(-1100\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -1480.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±\sqrt{2190400-4\left(-1100\right)\times 340}}{2\left(-1100\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1100.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±\sqrt{2190400+4400\times 340}}{2\left(-1100\right)}$$

გაამრავლეთ 4400-ზე 340.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±\sqrt{2190400+1496000}}{2\left(-1100\right)}$$

მიუმატეთ 2190400 1496000-ს.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±\sqrt{3686400}}{2\left(-1100\right)}$$

აიღეთ 3686400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1480\right)±1920}{2\left(-1100\right)}$$

-1480-ის საპირისპიროა 1480.

$$x=\frac{1480±1920}{2\left(-1100\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1100.

$$x=\frac{1480±1920}{-2200}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1480±1920}{-2200} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1480 1920-ს.

$$x=\frac{3400}{-2200}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{3400}{-2200} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 200-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{17}{11}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1480±1920}{-2200} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1920 1480-ს.

$$x=-\frac{440}{-2200}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-440}{-2200} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 440-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{17}{11} x=\frac{1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x+1\right)^{2}-ზე, x+1,\left(x+1\right)^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)^{2}\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\times 720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+2x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+\left(x+1\right)\times 720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 720-ზე.

$$720x^{2}+1440x+720+720x+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

დააჯგუფეთ 1440x და 720x, რათა მიიღოთ 2160x.

$$720x^{2}+2160x+720+720+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 720 და 720, რათა მიიღოთ 1440.

$$720x^{2}+2160x+1440+720=1820\left(x+1\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 1440 და 720, რათა მიიღოთ 2160.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x+1\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820\left(x^{2}+2x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1820 x^{2}+2x+1-ზე.

$$720x^{2}+2160x+2160=1820x^{2}+3640x+1820$$

გამოაკელით 1820x^{2} ორივე მხარეს.

$$720x^{2}+2160x+2160-1820x^{2}=3640x+1820$$

დააჯგუფეთ 720x^{2} და -1820x^{2}, რათა მიიღოთ -1100x^{2}.

$$-1100x^{2}+2160x+2160=3640x+1820$$

გამოაკელით 3640x ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}+2160x+2160-3640x=1820$$

დააჯგუფეთ 2160x და -3640x, რათა მიიღოთ -1480x.

$$-1100x^{2}-1480x+2160=1820$$

გამოაკელით 2160 ორივე მხარეს.

$$-1100x^{2}-1480x=1820-2160$$

გამოაკელით 2160 1820-ს -340-ის მისაღებად.

$$-1100x^{2}-1480x=-340$$

ორივე მხარე გაყავით -1100-ზე.

$$\frac{-1100x^{2}-1480x}{-1100}=-\frac{340}{-1100}$$

-1100-ზე გაყოფა აუქმებს -1100-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{1480}{-1100}\right)x=-\frac{340}{-1100}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-1480}{-1100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 20-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{74}{55}x=-\frac{340}{-1100}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-340}{-1100} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 20-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{74}{55}x=\frac{17}{55}$$

გაყავით \frac{74}{55}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{37}{55}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{37}{55}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{74}{55}x+\left(\frac{37}{55}\right)^{2}=\frac{17}{55}+\left(\frac{37}{55}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{37}{55} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{74}{55}x+\frac{1369}{3025}=\frac{17}{55}+\frac{1369}{3025}$$

მიუმატეთ \frac{17}{55} \frac{1369}{3025}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{74}{55}x+\frac{1369}{3025}=\frac{2304}{3025}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{74}{55}x+\frac{1369}{3025}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{55}\right)^{2}=\frac{2304}{3025}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{55}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{3025}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{37}{55}=\frac{48}{55} x+\frac{37}{55}=-\frac{48}{55}$$

გამოაკელით \frac{37}{55} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{17}{11}$$