გადაწყვიტეთ 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$7x-15y-2=0$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x-15y=2$$

მიუმატეთ 15y განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x=15y+2$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{7}-ზე 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{15y+2}{7}-ით x მეორე განტოლებაში, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

მიუმატეთ \frac{15y}{7} 2y-ს.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

გამოაკელით \frac{2}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{29}{7}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$y=\frac{19}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{19}{29}-ით y აქ: x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

გაამრავლეთ \frac{15}{7}-ზე \frac{19}{29} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

მიუმატეთ \frac{2}{7} \frac{285}{203}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{49}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

იმისათვის, რომ 7x და x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 7-ზე.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

გაამარტივეთ.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

გამოაკელით 7x+14y=21 7x-15y-2=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

მიუმატეთ 7x -7x-ს. პირობები 7x და -7x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-15y-14y-2=-21$$

მიუმატეთ -15y -14y-ს.

$$-29y-2=-21$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-29y=-19$$

ორივე მხარე გაყავით -29-ზე.

$$y=\frac{19}{29}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{19}{29}-ით y აქ: x+2y=3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

გამოაკელით \frac{38}{29} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{49}{29}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$