გადაწყვიტეთ 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, 4-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 16 -28-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

აიღეთ -12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

გაყავით -4+2i\sqrt{3} 14-ზე.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{3} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

გაყავით -4-2i\sqrt{3} 14-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

გაყავით \frac{4}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{2}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{2}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{7} \frac{4}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

გამოაკელით \frac{2}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$