გადაწყვიტეთ 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 9 ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 7x^{2}+ax+bx-9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 2.

$$a=-7 b=9$$

ხელახლა დაწერეთ 7x^{2}+2x-9, როგორც \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

7x-ის პირველ, 9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}+2x=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, 2-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 4 252-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

აიღეთ 256-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±16}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 16-ს.

$$x=\frac{14}{14}$$

გაყავით 14 14-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±16}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16 -2-ს.

$$x=-\frac{18}{14}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18}{14} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{9}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

გაყავით \frac{2}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

მიუმატეთ \frac{9}{7} \frac{1}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

გამოაკელით \frac{1}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$