გადაწყვიტეთ 7x^2+12x-11=0

$$7 x ^ { 2 } + 12 x - 11 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7}\approx 0.661449402$$

$$x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}\approx -2.375735116$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}+12x-11=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, 12-ით b და -11-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე -11.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+308}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 144 308-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{452}}{2\times 7}$$

აიღეთ 452-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 2\sqrt{113}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{113}-12}{14}$$

გაყავით -12+2\sqrt{113} 14-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±2\sqrt{113}}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{113} -12-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{113}-12}{14}$$

გაყავით -12-2\sqrt{113} 14-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7} x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+12x-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

-11-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}+12x=-\left(-11\right)$$

გამოაკელით -11 0-ს.

$$7x^{2}+12x=11$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}+12x}{7}=\frac{11}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x=\frac{11}{7}$$

გაყავით \frac{12}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{6}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{6}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{6}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{11}{7}+\frac{36}{49}$$

მიუმატეთ \frac{11}{7} \frac{36}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{113}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{113}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{113}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{6}{7}=\frac{\sqrt{113}}{7} x+\frac{6}{7}=-\frac{\sqrt{113}}{7}$$

გამოაკელით \frac{6}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{113}-6}{7} x=\frac{-\sqrt{113}-6}{7}$$