გადაწყვიტეთ 7x^2-80x+33=0

$$7 { x }^{ 2 } -80x+33 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

$$x=11$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 7x^{2}+ax+bx+33. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-80 ab=7\times 33=231$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 231.

$$-1,-231 -3,-77 -7,-33 -11,-21$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-231=-232 -3-77=-80 -7-33=-40 -11-21=-32$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -80.

$$a=-77 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ 7x^{2}-80x+33, როგორც \left(7x^{2}-77x\right)+\left(-3x+33\right).

$$\left(7x^{2}-77x\right)+\left(-3x+33\right)$$

7x-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$7x\left(x-11\right)-3\left(x-11\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-11 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-11\right)\left(7x-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-11=0 და 7x-3=0.

$$x=11 x=\frac{3}{7}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}-80x+33=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, -80-ით b და 33-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 7\times 33}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 7\times 33}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-28\times 33}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე 33.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-924}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 6400 -924-ს.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{5476}}{2\times 7}$$

აიღეთ 5476-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±74}{2\times 7}$$

-80-ის საპირისპიროა 80.

$$x=\frac{80±74}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{80±74}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{80±74}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 80 74-ს.

$$x=\frac{154}{14}$$

გაყავით 154 14-ზე.

$$x=11$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{80±74}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 74 80-ს.

$$x=\frac{6}{14}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{14} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{7}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=11 x=\frac{3}{7}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-80x+33=0$$

გამოაკელით 33 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}-80x+33-33=-33$$

33-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}-80x=-33$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}-80x}{7}=-\frac{33}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x=-\frac{33}{7}$$

გაყავით -\frac{80}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{40}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{40}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}=-\frac{33}{7}+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{40}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=-\frac{33}{7}+\frac{1600}{49}$$

მიუმატეთ -\frac{33}{7} \frac{1600}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=\frac{1369}{49}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}=\frac{1369}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{40}{7}=\frac{37}{7} x-\frac{40}{7}=-\frac{37}{7}$$

მიუმატეთ \frac{40}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=11 x=\frac{3}{7}$$