გადაწყვიტეთ 7x^2+5x+3=0

$$7 { x }^{ 2 } +5x+3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14}\approx -0.357142857+0.548653268i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}\approx -0.357142857-0.548653268i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$7x^{2}+5x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, 5-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 3}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 3}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-84}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 25 -84-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-59}}{2\times 7}$$

აიღეთ -59-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{59}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{59}i}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{59} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14} x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+5x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$7x^{2}+5x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{3}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{3}{7}$$

გაყავით \frac{5}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{14}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{14}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{3}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{14} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{3}{7}+\frac{25}{196}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{7} \frac{25}{196}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{59}{196}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{59}{196}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{196}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{59}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{59}i}{14}$$

გამოაკელით \frac{5}{14} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{59}i}{14} x=\frac{-\sqrt{59}i-5}{14}$$