გადაწყვიტეთ 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 64-ით a, 24\sqrt{5}-ით b და 33-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

აიყვანეთ კვადრატში 24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

გაამრავლეთ -256-ზე 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

მიუმატეთ 2880 -8448-ს.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

აიღეთ -5568-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -24\sqrt{5} 8i\sqrt{87}-ს.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

გაყავით -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} 128-ზე.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8i\sqrt{87} -24\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

გაყავით -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} 128-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

გამოაკელით 33 განტოლების ორივე მხარეს.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

33-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

ორივე მხარე გაყავით 64-ზე.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

64-ზე გაყოფა აუქმებს 64-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

გაყავით 24\sqrt{5} 64-ზე.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

გაყავით \frac{3\sqrt{5}}{8}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3\sqrt{5}}{16}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3\sqrt{5}}{16}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3\sqrt{5}}{16}.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

მიუმატეთ -\frac{33}{64} \frac{45}{256}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

გამოაკელით \frac{3\sqrt{5}}{16} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$